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题目描述

组合数C(n,m）​表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子,从$(1,2,3)$三个物品中选择两个物品可以有(1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。 根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数的一般公式：
$C(n,m)=$n!​ /m!(n−m)!其中$n!=1\times 2\times \cdots \times n$特别地，定义$0!=1$。

小葱想知道如果给定$n,m$和$k$对于所有的$0\le i\le n,0\le j\le min(i,m)$,有多少对$(i,j)$满足C(i,j)​是$k$的倍数。

小葱进行了t次询问；

ps:由于我比较菜，所以不知道如何将组合符号表示出来。

对于全部的测试点，保证 0≤n,m≤2×10³，1≤t≤10⁴。

思路：

我们先看一下数据：

1                                  C(0,0)

1 1                               C(1,0)   C(1,1) 

1 2 1                            C(2,0)   C(2,1)  C(2,2) 

1 3  3 1                        C(3,0)   C(3,1)  C(3,2) C(3,3)   

...                                  ...

看到这，我们不由得会想到杨辉三角，因为所以C(i,j)的值就是第i行第j列；然后我们只需要对他进行预处理，再%上k就行了；

但是需要询问多次，这里我们会想到前缀和，利用二维前缀和，如果%k=0，那么就是1，反之则为0；

具体代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
int c[2010][2010], sum[2010][2010];
int main()
{
	int t, k;
	cin >> t >> k;
	c[0][0] = 1;
	int x;
	for (int i = 1; i <= 2000; i++)
	{
		c[i][0] = c[i][i] = 1;//杨辉三角
		for (int j = 1; j < i; j++)
		{
			c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % k;
			if (c[i][j] == 0)//如果是k的倍数，那么就让sum=1;
			{
				sum[i][j] = 1;
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= 2000; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= 2000; j++)
		{
			sum[i][j] += sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1];//前缀和，表示i，j前符合条件的个数
		}
	}
	while (t--)
	{
		int n, m;
		cin >> n >> m;
		cout << sum[n][m] << endl;
	}
	return 0;
}

完结！

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